Johann Baptist Straub stammte aus einer Bildhauerfamilie. Auch sein Vater Johann Georg Straub und seine Brüder Philipp Jakob, Joseph und Johann Georg waren Bildhauer. Er lernte zunächst von 1718 bis 1722 in der Werkstatt des Vaters, bevor er weitere vier Jahre im Kreise der Münchner Hofkunst bei Hofbildhauer Gabriel Luidl tätig war. Unter Joseph Effner fertigte er erste dekorative Arbeiten für die Münchener Residenz an. Danach ging er nach Wien, wo er von 1726 bis 1734 im Umkreis von Ignaz Gunst, Christoph Mader, Galli Bibiena, Joseph Emanuel Fischer von Erlach und Raphael Donner lernte und erste größere Arbeiten ausführte, zum Beispiel Madonna, Kanzel, Kirchenbänke, Orgelbekrönung und mehrere Figuren für die Schwarzspanierkirche.

1734 kehrte er auf Einladung des Hofbildhauers Andreas Faistenberger nach München zurück. Er wurde am 7. Juni 1737 von Kurfürst Karl Albrecht von Bayern zum Hofbildhauer ernannt. Im selben Jahr heiratete er Elisabeth Theresa, Tochter des Hofkupferstechers Franz Xaver Joseph Späth († 20. Dezember 1774)

Straub stattete vor allem in Oberbayern Kirchen und Klöster aus. Meist sind seine Figuren weiß gefasst mit wenigen Vergoldungen. Wichtige Werke Straubs befinden sich in der Residenz in München sowie in Schloss Nymphenburg. Kirchliche Werke sind die Altäre der Klosterkirchen von Andechs und Schäftlarn sowie der St.-Michael-Kirche in Berg am Laim.

Straubs Werkstatt war zu seiner Zeit die bedeutendste in München. Sein wichtigster Schüler war Ignaz Günther, daneben sind Roman Anton Boos und sein Neffe Franz Xaver Messerschmidt zu nennen.